solid_state_physics/tutorial/2_04s.tex

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  19
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  25
  26 \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
  27 \renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii})}
  28 \renewcommand{\labelenumiii}{\roman{enumiii})}
  29
  30 \begin{document}
  31
  32 % header
  33 \begin{center}
  34  {\LARGE {\bf Materials Physics II}\\}
  35  \vspace{8pt}
  36  Prof. B. Stritzker\\
  37  SS 2008\\
  38  \vspace{8pt}
  39  {\Large\bf Tutorial 4 - proposed solutions}
  40 \end{center}
  41
  42 \vspace{4pt}
  43
  44 \section{Legendre transformation and Maxwell relations}
  45
  46 \begin{enumerate}
  47  \item Legendre transformation:
  48        \begin{eqnarray}
  49        dg &=& df - \sum_{i=r+1}^{n} d(u_ix_i)\nonumber\\
  50           &=& df - \sum_{i=r+1}^{n} (x_idu_i + u_idx_i)\nonumber\\
  51           &=& \sum_{i=1}^r u_idx_i - \sum_{i=r+1}^n x_idu_i\nonumber
  52        \end{eqnarray}
  53        \[
  54        \Rightarrow g=g(x_1,\ldots,x_r,u_{r+1},\ldots,u_n)
  55        \]
  56  \item Use $T=\left.\frac{\partial E}{\partial S}\right|_V$ and
  57        $-p=\left.\frac{\partial E}{\partial V}\right|_S$.\\
  58        Start with internal energy $E=E(S,V)$:
  59        \[
  60        \Rightarrow dE=\frac{\partial E}{\partial S}dS +
  61                       \frac{\partial E}{\partial V}dV =
  62                       TdS - pdV
  63        \]
  64        Enthalpy $H=E+pV$:
  65        \[
  66        \Rightarrow dH=dE+Vdp+pdV=TdS-pdV+Vdp+pdV=TdS+Vdp
  67        \]
  68        \[
  69        \Rightarrow
  70        \left.\frac{\partial H}{\partial S}\right|_p=T \textrm{ and }
  71        \left.\frac{\partial H}{\partial p}\right|_S=V
  72        \]
  73        Helmholtz free energy $F=E-TS$:
  74        \[
  75        \Rightarrow dF=dE-SdT-TdS=TdS-pdV-SdT-TdS=-pdV-SdT
  76        \]
  77        \[
  78        \Rightarrow
  79        \left.\frac{\partial F}{\partial V}\right|_T=-p \textrm{ and }
  80        \left.\frac{\partial F}{\partial T}\right|_V=-S
  81        \]
  82        Gibbs free energy $G=H-TS=E+pV-TS$:
  83        \[
  84        \Rightarrow dG=dH-SdT-TdS=TdS+Vdp-SdT-TdS=Vdp-SdT
  85        \]
  86        \[
  87        \Rightarrow
  88        \left.\frac{\partial G}{\partial p}\right|_T=V \textrm{ and }
  89        \left.\frac{\partial G}{\partial T}\right|_p=-S
  90        \]
  91  \item Maxwell relations:\\
  92        Enthalpy: $dH=TdS+Vdp$
  93        \[
  94        \frac{\partial}{\partial S}
  95        \left(\left.\frac{\partial H}{\partial p}\right|_S\right)_p=
  96        \frac{\partial}{\partial p}
  97        \left(\left.\frac{\partial H}{\partial S}\right|_p\right)_S
  98        \Rightarrow
  99        \left.\frac{\partial V}{\partial S}\right|_p=
 100        \left.\frac{\partial T}{\partial p}\right|_S
 101        \]
 102        Helmholtz free energy: $dF=-pdV-SdT$
 103        \[
 104        \frac{\partial}{\partial V}
 105        \left(\left.\frac{\partial F}{\partial T}\right|_V\right)_T=
 106        \frac{\partial}{\partial T}
 107        \left(\left.\frac{\partial F}{\partial V}\right|_T\right)_V
 108        \Rightarrow
 109        \left.-\frac{\partial S}{\partial V}\right|_T=
 110        \left.-\frac{\partial p}{\partial T}\right|_V
 111        \]
 112  \item For a thermodynamic potential $\Phi(X,Y)$ the following identity
 113        expressing the permutability of derivatives holds:
 114        \[
 115        \frac{\partial^2 \Phi}{\partial X \partial Y} =
 116        \frac{\partial^2 \Phi}{\partial Y \partial X}
 117        \]
 118        Derive the Maxwell relations by taking the mixed derivatives of the
 119        potentials in (b) with respect to the variables they depend on.
 120        Exchange the sequence of derivation and use the identities gained in (b).
 121 \end{enumerate}
 122
 123 \section{Thermal expansion of solids}
 124
 125 It is well known that solids change their length $L$ and volume $V$ respectively
 126 if there is a change in temperature $T$ or in pressure $p$ of the system.
 127 The following exercise shows that
 128 thermal expansion cannot be described by rigorously harmonic crystals.
 129
 130 \begin{enumerate}
 131  \item The coefficient of thermal expansion of a solid is given by
 132        $\alpha_L=\frac{1}{L}\left.\frac{\partial L}{\partial T}\right|_p$.
 133        Show that the coefficient of thermal expansion of the volume
 134        $\alpha_V=\frac{1}{V}\left.\frac{\partial V}{\partial T}\right|_p$
 135        equals $3\alpha_L$ for isotropic materials.
 136  \item Find an expression for the pressure as a function of the free energy
 137        $F=E-TS$.
 138        Rewrite this equation to express the pressure entirely in terms of
 139        the internal energy $E$.
 140        Evaluate the pressure by using the harmonic form of the internal energy.
 141        {\bf Hint:}
 142        Step 2 introduced an integral over the temperature $T'$.
 143        Change the integration variable $T'$ to $x=\hbar\omega_s({\bf k})/T'$.
 144        Use integration by parts with respect to $x$.
 145  \item The normal mode frequencies of a rigorously harmonic crystal
 146        are unaffected by a change in volume.
 147        What does this imply for the pressure
 148        (Which variables does the pressure depend on)?
 149        Draw conclusions for the coefficient of thermal expansion.
 150  \item Find an expression for $C_p-C_V$ in terms of temperature $T$,
 151        volume $V$, the coefficient of thermal expansion $\alpha_V$ and
 152        the inverse bulk modulus (isothermal compressibility)
 153        $\frac{1}{B}=-\frac{1}{V}\left.\frac{\partial V}{\partial p}\right|_T$.\\
 154        $C_p=\left.\frac{\partial E}{\partial T}\right|_p$ is the heat capacity
 155        for constant pressure and
 156        $C_V=\left.\frac{\partial E}{\partial T}\right|_V$ is the heat capacity
 157        for constant volume.
 158 \end{enumerate}
 159
 160 \end{document}