Monte-Carlo-Simulationen sind numerische Computerexperimente zur Untersuchung von interessierenden Sachverhalten.
Gegen"uber anderen Rechenmethoden basieren diese Computerexperimente auf stochastischen Modellen.
Dabei werden vom Computer generierte Zufallszahlen auf physikalische Gr"o"sen abgebildet.
- Die Zuf"allgkeit mikroskopischer Ereignisse spielt, wie im realen System des Experimentes, die wesentliche Rolle.
- Der Rechner wird zum virtuellen Labor, in dem ein bestimmtest System untersucht wird.
+ Die Zuf"alligkeit mikroskopischer Ereignisse spielt, wie im realen System des Experimentes, die wesentliche Rolle.
+ Der Rechner wird zum virtuellen Labor, in dem ein bestimmtes System untersucht wird.
Eine solche Computersimulation kann als numerisches Experiment betrachtet werden.
Makroskopische observable Gr"o"sen sind, ebenso wie im Experiment, von statistischen Fluktuationen beeinflusst.
Die Reproduzierbarkeit von Ergebnissen hat demnach statistischen Charakter.
Der Vorteil der Monte-Carlo-Methode ist das relativ einfache Erzielen von Ergebnissen f"ur Problemstellungen, die ohne N"aherungen analytisch nicht l"osbar oder sehr aufw"andig sind.
Ein Beispiel hierf"ur ist das Ising-Modell in drei Dimensionen, f"ur das bis jetzt keine analytische L"osung gefunden wurde.
- Die Idee besteht darin, f"ur die Berechnung der Zustandssumme
- \begin{equation}
- Z = \sum_{i=1}^N e^{\frac{-E_i}{k_B T}} = Tr(e^{-\beta H})
- \end{equation}
- nicht den gesamten Raum der Konfigurationen, sondern nur statistisch ausgew"ahlte Punkte zu ber"ucksichtigen.
+ Die Idee besteht darin, f"ur die Berechnung der Zustandssumme nicht den gesamten Raum der Konfigurationen, sondern nur statistisch ausgew"ahlte Punkte zu ber"ucksichtigen.
Um die Genauigkeit der simulierten Eigenschaften des Systems in einer bestimmten Sollzeit zu verbessern, ist es n"otig die Zust"ande mit der Wahrscheinlichkeit entsprechend ihres Beitrages zur Zustandssumme auszusuchen.
Dieser Ansatz wird als \dq importance sampling\dq{} bezeichnet.
F"ur das Ising-Modell wird der Metropolis-Algorithmus verwendet, der die Dynamik des Systems in Form eines \dq update algorithm\dq{} f"ur die Mikrozust"ande vorschreibt.
Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen
\begin{equation}
- p(z) = \left\{
+ \rho(z)dz = \left\{
\begin{array}{ll}
- az + b & 0 \leq z < Z \\
+ (az + b) dz & 0 \leq z < Z \\
0 & \textrm{sonst}
\end{array} \right.
\end{equation}
realisiert man durch folgende Transformation:
\begin{eqnarray}
- p(z)dz & = & p(x)dx \nonumber \\
- \frac{dx}{dz} & = & p(z) \nonumber \\
- x & = & \int_{- \infty}^z p(z')dz' = \int_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz \label{eq:trafo}
+ \rho(z)dz & = & p(x)dx \nonumber \\
+ \frac{dx}{dz} & = & \rho(z) \nonumber \\
+ x & = & \int_{- \infty}^z \rho(z')dz' = \int_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz \label{eq:trafo}
\end{eqnarray}
Durch Aufl"osen von \eqref{eq:trafo} nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung erh"alt man:
\begin{equation}
\label{eq:el_sp}
\end{equation}
Die Proportionalit"atskonstante $k_L$ ist ein geschwindigkeitsunabh"angiger Ausdruck und beinhaltet die Abh"angigkeit der Bremskraft von der Kernladungszahl des Ions und des Targetatoms.
- Schaleneffekte und damit verbundene Oszillationen in der Abh"angigkeit der Kernladungszahl k"onnen durch einen weiteren Faktor $k_F$, den LSS-Korrekturfaktor, der durch experimentelle Ergebnisse angepasst wurde, ber"ucksichtigt werden.
+ Schaleneffekte und damit verbundene Oszillationen in Abh"angigkeit von der Kernladungszahl k"onnen durch einen weiteren Faktor $k_F$, den LSS-Korrekturfaktor, der durch experimentelle Ergebnisse angepasst wurde, ber"ucksichtigt werden.
\subsection{Implantationsprofil}
Dieser kann an amorph-kristallinen Grenzfl"achen Rekristallisation beg"unstigen \cite{jackson} oder auch zur Bildung von Kristallisationskeimen in amorphen Gebieten f"uhren \cite{spinella}.
Man spricht von ionenstrahlinduzierter Defektausheilung beziehungsweise Rekristallisation (IBIC, kurz f"ur: Ion Beam Induced Crystallization).
- Im Folgenden sollen einige Strahlensch"adigungsmodelle zur Absch"atzung der Amorphisierung abh"angig von der implantierten Dosis vorgestellt werden.
+ Im Folgenden sollen einige Strahlensch"adigungsmodelle zur Absch"atzung der Amorphisierungsdosis vorgestellt werden.
\subsubsection{Modell der kritischen Energiedichte}
- Bei niedrigen Implantationstemperaturen, typischerweise kleiner $85 \, K$, kommt es beim Erreichen einer kritischen Energiedichte $e_c$ von etwa $6 \times 10^23 \, eV/cm^3$ f"ur die in nuklearen St"o"sen deponierte Energie in Silizium zur Amorphisierung \cite{vook}.
+ Bei niedrigen Implantationstemperaturen, typischerweise kleiner $85 \, K$, kommt es beim Erreichen einer kritischen Energiedichte $e_c$ von etwa $6 \times 10^{23} \, eV/cm^3$ f"ur die in nuklearen St"o"sen deponierte Energie in Silizium zur Amorphisierung \cite{vook}.
In diesem Fall ergibt sich die Amorphisierungsdosis $D_0$ aus der nuklearen Bremskraft $S_n$ zu:
\begin{equation}
\subsubsection{Strahlensch"adigungsmodell nach Hecking}
- Da das "Uberlappungsmodell keine temperaturabh"angigen Ausheilmechanismen ber"ucksichtigt und somit lediglich f"ur tiefe Temperaturen geeignet ist, wurde von Hecking \cite{hecking1,hecking2} ein neues Defekterzeugungs- und Defektwechselwirkungsmodell entwickelt, das auf dem Spike"=Konzept aufbaut.
+ Da das "Uberlappungsmodell keine temperaturabh"angigen Ausheilmechanismen ber"ucksichtigt und somit lediglich f"ur tiefe Temperaturen geeignet ist, wurde von Hecking \cite{hecking1,hecking2} ein neues Defekterzeugungs- und Defektwechselwirkungsmodell entwickelt, das auf dem Spike"=Konzept \cite{naguib,carter} aufbaut.
Als Spike bezeichnet man das r"aumlich begrenzte Gebiet sehr hoher Energiedichte einer dichten Sto"skaskade, in dem die kollektiv angeregten Atome einen quasi-fl"ussigen Zustand bilden.
Die thermische Relaxation dieses Spikes kann als W"armediffusionsprozess beschrieben werden.
Erreicht die Kristallisationsfront den Kaskadenkern bevor die Kristallisationstemperatur unterschritten wird, kann der Spike vollst"andig rekristallisieren.
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