\subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
- Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung.
+ Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung (Abbildung \ref{img:rej_meth}).
Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben.
Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
\item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$.
\item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
\end{enumerate}
- \begin{figure}[h]
+ \begin{figure}
+ \begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps}
\caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$}
\label{img:rej_meth}
+ \end{center}
\end{figure}
Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen.
Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden.
- Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion.
-
+ Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion (Abbildung \ref{img:scatter_lc}).
Aus der Energieerhaltung folgt:
\begin{equation}
\frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
\end{equation}
- Dabei ist $v_0$ die anfaengliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$.
-
+ Dabei ist $v_0$ die anf"angliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$.
Aus der Impulserhaltung folgt,
\begin{eqnarray}
\textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\
\textrm{Lateral: } & 0 = M_1 v_1 sin(\theta) + M_2 v_2 sin(\phi)
\end{eqnarray}
wobei $\theta$ der Winkel der Ablenkung des Ions und $\phi$ der Winkel der Ablenkung des Atomkerns ist.
- \begin{figure}[h]
+ \begin{figure}
+ \begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{scatter_lc.eps}
\caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem}
\label{img:scatter_lc}
+ \end{center}
+ \end{figure}
+
+ Mit Hilfe der Transformation ins Schwerpunktsystem kann gezeigt werden, dass die Relativbewegung des Ions und des Atomkerns auf ein Einzelnes im Zentralfeld bewegtes Teilchen reduziert werden kann, wenn nur Kr"afte zwischen den beiden Teilchen wirken.
+ \begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=10cm]{scatter_cm2.eps}
+ \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Schwerpunktsystem}
+ \label{img:scatter_cm}
+ \end{center}
+ \end{figure}
+ Im Schwerpunktsystem gilt (Abbildung \ref{img:scatter_cm}):
+ \begin{equation}
+ M_1 v_0 = ( M_1 + M_2 ) v_c \quad \textrm{,}
+ \label{eq:imp_cons_cm}
+ \end{equation}
+ wobei $v_c$ die Schwerpunktgeschwindigkeit ist, so dass der Gesamtimpuls des Systems Null ist.
+ Mit der Definition der reduzierten Masse $M_c$
+ \begin{equation}
+ \frac{1}{M_c} = \frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2} \quad \textrm{,}
+ \end{equation}
+ also
+ \begin{equation}
+ M_c = \frac{M_1 M_2}{M_1 + M_2} \quad \textrm{,}
+ \label{eq:m_red}
+ \end{equation}
+ erh"alt man f"ur die Schwerpunktsbewegung aus \eqref{eq:imp_cons_cm} den Ausdruck
+ \begin{equation}
+ v_c = \frac{v_0 M_c}{M_2} \quad \textrm{.}
+ \label{eq:v_sp}
+ \end{equation}
+ Weiterhin erkennt man, dass die Teilchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen und unabh"angig vom Streuwinkel sind:
+ \begin{equation}
+ \frac{v_0 - v_c}{v_c} = \frac{M_2}{M_1} \quad \textrm{.}
+ \label{eq:inv_prop}
+ \end{equation}
+ Durch eine einfache geometrische "Uberlegung und der Bedingung, dass der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem Null ist, erh"alt man folgenden Zusammenhang der Ablenkwinkel des Targetatoms im Schwerpunkt- und Laborsystem (Abbildung \ref{img:angle_conv}):
+ \begin{equation}
+ \Phi = 2 \phi \quad \textrm{.}
+ \label{eq:angle_conv}
+ \end{equation}
+ \begin{figure}
+ \begin{center}
+ \includegraphics[width=10cm]{angle_conv.eps}
+ \caption{Zusammenhang der Ablenkwinkel des Targetatoms im Schwerpunktsystem (blau) und im Laborsystem (rot)}
+ \label{img:angle_conv}
+ \end{center}
\end{figure}
+ F"ur die auf das Targetatom "ubertragene Energie gilt:
+ \begin{equation}
+ T = \frac{1}{2} M_2 v_2^2 \quad \textrm{.}
+ \end{equation}
+ Mit $v_2 = 2 v_c cos(\phi)$ und \eqref{eq:v_sp} erh"alt man:
+ \begin{equation}
+ T = \frac{1}{2} M_2 \Big( \frac{2 v_0 M_c cos(\phi)}{M_2} \Big)^2 = \frac{2}{M_2} \Big( v_0 M_c cos(\phi) \Big)^2 \quad \textrm{.}
+ \label{eq:delta_e}
+ \end{equation}
+ Die anf"angliche Energie des Systems $E$ ist festgelegt durch $E = \frac{1}{2} M_1 v_0^2$.
+ Aus Abbildung \ref{img:scatter_cm} erkennt man, dass $\Phi = \pi - \Theta$ ist und mit \eqref{eq:angle_conv} und einsetzen von \eqref{eq:m_red} f"ur die reduzierte Masse in \eqref{eq:delta_e} bekommt man folgenden Ausdruck f"ur den Energie"ubertrag:
+ \begin{equation}
+ T = \frac{2}{M_2} v_0^2 \frac{M_1^2 M_2^2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) \quad \textrm{.}
+ \label{eq:final_delta_e}
+ \end{equation}
+ Die maximal "ubertragene Energie erh"alt man f"ur den zentralen Sto"s mit $\Theta = \pi$, also f"ur $\Phi = 2\phi = 0$:
+ \begin{equation}
+ T_{max} = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} \quad \textrm{.}
+ \label{eq:delta_e_max}
+ \end{equation}
+
+ Bis jetzt ist also der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt. Mit der Wahrscheinlichkeit fuer den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag berechnet werden.
+ Mit der Annahme, dass Kr"afte zwischen den Teilchen nur entlang ihrer Verbindungsachse wirken und der Gesamtimpuls des Systems Null ist, verlaufen die zwei Teilchenbahnen symmetrisch zueinander. Daher reicht die Bestimmung einer einzelnen Teilchenbahn.
+ Das Zweik"orperproblem kann so auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
+ Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange Gleichung gel"ost werden.
+ \begin{equation}
+ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0
+ \end{equation}
+
\subsubsection{Elektronische Bremskraft}
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