\item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
\item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
\[
- \dot{p}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
+ \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
\qquad
\dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
\]\\
Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
}
\begin{itemize}
- \item Methode zum Intgrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
+ \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
\item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
\item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
\end{itemize}
\begin{slide}
{\large\bf
-
+ {\em Predictor-Corrector} Algorithmus
+}
+\begin{itemize}
+ \item Vorhersage der Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen etc ...
+ \begin{eqnarray}
+ {\bf r}^p(t + \delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
+ \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) +
+ \frac{1}{6} \delta t^3 {\bf b}(t) + \ldots
+ \nonumber \\
+ {\bf v}^p(t + \delta t) &=& {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t) +
+ \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf b}(t) + \ldots
+ \nonumber \\
+ {\bf a}^p(t + \delta t) &=&{\bf a}(t) + \delta t {\bf b}(t) + \ldots
+ \nonumber \\
+ {\bf b}^p(t + \delta t) &=&{\bf b}(t) + \ldots
+ \nonumber
+ \end{eqnarray}
+ \item Brechnung der tats"achlichen Kraft/Beschleunigung ${\bf a}^c$
+ f"ur die vorhergesagten Orte ${\bf r}^p$ \\
+ $\Rightarrow$ Korrekturfaktor:
+ $\Delta {\bf a}(t + \delta t) =
+ {\bf a}^c(t + \delta t) - {\bf a}^p(t + \delta t)$
+ \item Korrektur:
+ \begin{eqnarray}
+ {\bf r}^c(t + \delta t) &=& {\bf r}^p(t + \delta t) +
+ c_0 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
+ {\bf v}^c(t + \delta t) &=& {\bf v}^p(t + \delta t) +
+ c_1 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
+ {\bf a}^c(t + \delta t) &=& {\bf a}^p(t + \delta t) +
+ c_2 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
+ {\bf b}^c(t + \delta t) &=& {\bf b}^p(t + \delta t) +
+ c_3 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber
+ \end{eqnarray}
+ \item Optional: Iteration des Korrekturschrittes
+\end{itemize}
+{\scriptsize
+ C. W. Gear.
+ The numerical integration of ordinary differential equations of various orders.
+ (1966)\\
+ C. W. Gear.
+ Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
+ (1971)
}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
+ Velocity Verlet
+}\\
+Aus formaler L"osung der Liouville-Gleichung f"ur Ensemble Zeitentwicklung:
+\begin{eqnarray}
+ {\bf r}(t+\delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
+ \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) \nonumber \\
+ {\bf v}(t+\delta t) &=& {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t (
+ {\bf a}(t) + {\bf a}(t+\delta t)) \nonumber
+\end{eqnarray}
+Alogrithmus:
+\begin{itemize}
+ \item Berechnung der neuen Ortskoordinaten ${\bf r}(t+\delta t)$
+ \item Erste Berechnung der Geschwindigkeiten
+ \[
+ {\bf v}(t+\delta t/2) = {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t)
+ \]
+ \item Berechnung der Kr"afte f"ur die Orte ${\bf r}(t+\delta t)$
+ $\Rightarrow {\bf a}(t+\delta t)$
+ \item Update der Geschwindigkeiten
+ \[
+ {\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t+\delta t/2) +
+ \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t+\delta t)
+ \]
+\end{itemize}
+Eigenschaften:
+\begin{itemize}
+ \item entspricht {\em GEAR-3} mit Ortskorrekturfaktor $c_0=0$
+ \item einfach, schnell, wenig Speicheraufwand $(9N)$
+ \item verh"altnism"a"sig pr"azise
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Modell zur Wechselwirkung - Das Potential
+}\\
+Klassisches Potential:
+\[
+{\mathcal V} = \sum_i {\mathcal V}_1({\bf r}_i) +
+ \sum_{i,j} {\mathcal V}_2({\bf r}_i,{\bf r}_j) +
+ \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) +
+ \ldots
+\]
+\begin{minipage}{8.3cm}
+\begin{itemize}
+ \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld)
+ \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential
+ (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$)
+ \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential
+ (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$)
+ \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut
+ \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie)
+ \item nur Paarpotential\\
+ $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\
+ $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien
+\end{itemize}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{4cm}
+ \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps}
+\end{minipage}
+Cut-Off Radius $r_c$:
+\begin{itemize}
+ \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht
+ \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden
+\end{itemize}
+\begin{picture}(350,5)
+\end{picture}
+Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
+\end{slide}
-}
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Wahl/Kontrolle des Ensembles
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Erinnerung:
+\begin{itemize}
+ \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum, $<A>_{ens} = <A>_t$
+ \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten
+ \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$
+\end{itemize}
+$\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles
+\[
+ \rho_{ens}=\delta(H(t)-E)
+\]
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+F"ur andere Ensembles:
+\begin{itemize}
+ \item Anpassung der Bewegungsgleichungen f"ur eine Sequenz von Konfigurationen
+ im gew"unschten Ensemble
+\end{itemize}
+\begin{center}
+{\color{red} oder}
+\end{center}
+\begin{itemize}
+ \item Tricks zur Kontrolle von $T$ und $p$
+ $\Rightarrow$ $NVE \rightarrow NVT,NpT$\\
+ Anmerkung: $T$ und $p$ fluktuieren,
+ Mittelwerte entsprechen den gew"unschten Werten
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
+ kanonisches Ensemble (NVT)
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Trick: {\em temperature scaling}
+\begin{itemize}
+ \item forcieren der gew"unschten Temperatur in jedem Schritt
+ \item $E_{kin} = 3/2 Nk_BT$
+ \item eigentlich {\em velocity scaling}
+ \item Berendsen Thermostat:
+ \[
+ \lambda = \sqrt{1+\frac{\delta t}{\tau_T}\Big(\frac{T_{ref}}{T}-1\Big)}
+ \]
+ \begin{center}
+ $\tau_T>100\times\delta t \Rightarrow$ reale thermische Fluktuationen\\
+ {\scriptsize Berendsen et al. J. Chem. Phys. 81 (1984) 3684.}
+ \end{center}
+\end{itemize}
+Andersen:
+\begin{itemize}
+ \item Zuf"alliges "Andern der Geschwindigkeit eines Atoms entsprechend
+ der Temperatur
+ \item Physikalische Interpretation: Kopplung an W"armebad
+ \item {\color{green} n"utzlich zum Berechnen thermodynamischer Gr"o"sen}
+ \item {\color{red} nicht geeignet zur Beschreibung atomistischer Prozesse}\\
+ (unphysikalische St"orung der Bewegung des einzelnen Atoms)
+\end{itemize}
+\end{slide}
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ isothermales isobares Ensemble (NpT)
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Trick: {\em pressure scaling}
+\begin{itemize}
+ \item analog zum {\em temperature scaling}
+ \item $p = - \frac{\partial \mathcal{V}}{V}$ (Alternative sp"ater)
+ \item eigentlich {\em volume scaling}
+ \item Berendsen Barostat:
+ \[
+ \mu = \Big[1-\frac{\delta t}{\tau_p}\beta (p_0-p)\Big]^{1/3}
+ \]
+\end{itemize}
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Andersen:
+\begin{itemize}
+ \item modifizierte Bewegungsgleichung
+ (neue Variable $Q$, ${\bf \rho}_i = {\bf r}_i/V^{1/3}$)
+ \[
+ \mathcal{L}(\rho^N,\dot{\rho}^N,Q,\dot{Q})
+ =\frac{1}{2}mQ^{2/3}\sum_i \dot{\rho}_i^2 -
+ \sum_{i<j} \mathcal{V}(Q^{1/3} \rho_{ij}) +
+ \frac{1}{2}M\dot{Q}^2 - \alpha Q
+ \]
+ \item mit $Q=V$: erste 2 Terme $\equiv$ normaler Lagrange-Operator
+ \item Physikalische Interpretation:\\
+ Volumen $Q$ $\equiv$ Koordinate eines fiktiven Stempels
+ mit externen Druck $\alpha$
+ \item Zusammenhang: $V=Q$, ${\bf r}_i=Q^{1/3} \rho_i$,
+ ${\bf p}_i=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\dot{\rho}_i Q^{1/3})} =
+ m Q^{1/3} \dot{\rho}_i$
+\end{itemize}
+{\scriptsize H. C. Andersen. J. Chem. Phys. 72 (1980) 2384.}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Die Simulationszelle \& Randbedingungen
+}\\
+Simulationszelle:
+\begin{itemize}
+ \item definiert durch Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung
+ \item meist orthogonale Simulationszelle
+ \item Nullpunkt sinnvollerweise im Mittelpunkt
+ \item in Simulation nur definiert durch Randbedingungen
+\end{itemize}
+Randbedingungen:
+\begin{itemize}
+ \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte
+ \item periodische Randbedingungen:
+ \item festgehaltene Randatome: unphysikalisch
+ (verwerfen einer gro"sen Region um fixierte Atome)
+\end{itemize}
+
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Die Zell-Methode
+}\\
+
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Thermodynamische Gr"o"sen
}
+\begin{itemize}
+ \item Innere Energie: $E = ...$
+ \item Temperatur
+ \item Druck
+ \item W"armekapazit"at
+ \item Struktur Werte
+ \item Diffusion
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
+ Tersoff
+}
+\end{slide}
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ EAM
}
\end{slide}
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Albe Reparametrisierung
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Zusammenfassung / Ausblick
+}\\
+\begin{tabular}{|l|c|lr|}
+\hline
+Zusammenfassung & {\em moldyn}-Bibliothek & Ausblick und & Priorit"at \\
+\hline
+{\bf Integrator} & & & \\
+Velocity Verlet & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Gear Predictor Corrector & ${\color{red} \times}$ & GEAR-5 & $\bullet\bullet$ \\
+{\bf Potential} & & & \\
+Harmonischer Oszillator & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Lennard-Jones &$ {\color{green} \surd}$ & & - \\
+Tersoff/Albe & ${\color{green} \surd\surd}$ & & - \\
+Tersoff/Albe (inkl. $\lambda^3$) & ${\color{red} \times\times}$ &
+ & $\bullet\bullet\bullet$ \\
+EAM & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet\bullet$ \\
+{\bf Ensembles} & & & \\
+{\em temperature scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+{\em pressure scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Andersen $T$ & ${\color{red} \times}$ & & - \\
+Andersen $p$ & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet$ \\
+{\bf Simulationzelle} & & & \\
+periodische RB & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+$T,p$-Skalierung pro Atom & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+{\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele&$\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{slide}
+
\end{document}
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