+\mainmatter
+\chapter{Einfuehrung}
+
+\section{Zustandssumme und benoetigte Groessen}
+Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle moeglichen Zustaende (Mikrozustaende).
+\[
+ Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Spur} \, e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
+\]
+Sie ist eine fundamentale Groesse in der statistischen Physik. Von ihr koennen viele wichtige Groessen abgeleitet werden.
+\begin{eqnarray}
+ \textrm{freie Energie} \quad F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z \nonumber\\
+ \textrm{Magnetisierung} \quad M = - \frac{\partial F}{\partial B} \nonumber\\
+ \textrm{magnetische Suszeptibilitaet} \quad \chi = - \frac{\partial M}{\partial H} \nonumber
+\end{eqnarray}
+
+\section{Phasenuebergaenge}
+Die Phase ist eine moegliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen aeussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
+\begin{itemize}
+\item Dichte
+\item Magnetisierung
+\item elektrische Leitfaehigkeit
+\end{itemize}
+Mit einem Phasenuebergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase aendert. Man unterscheidet Uebrgaenge erster Ordnung (diskontinuierlich) und Uebergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
+\begin{itemize}
+\item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
+\item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilitaet)
+\end{itemize}
+
+\section{Idee des Ising Modells}
+Modellannahmen:
+\begin{itemize}
+\item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
+\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
+\[
+ \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
+\]
+\item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
+\end{itemize}
+Dann lautet die Hamilton-Funktion:
+\[
+ H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \qquad \textrm{,mit}
+\]
+\[
+(i,j) = \textrm{naechste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
+\]
+Man erkennt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
+\begin{itemize}
+\item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedrieger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
+\item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
+\end{itemize}
+Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen. (Divergenz von $\chi$)
+
+\chapter{Loesungen des Ising Modells}
+\section{1-dimensionale Loesung}